AUTHOR=Zhang Xue , Zhang Jing 

TITLE=Existence of a ground-state solution for a quasilinear Schrödinger system

JOURNAL=Frontiers in Physics

VOLUME=12

YEAR=2024

URL=https://www.frontiersin.org/journals/physics/articles/10.3389/fphy.2024.1386144

DOI=10.3389/fphy.2024.1386144

ISSN=2296-424X

ABSTRACT=<p>In this paper, we consider the following quasilinear Schrödinger system.<disp-formula id="equ1"><mml:math id="m1" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mfenced close="" open="{"><mml:mrow><mml:mtable class="array"><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mspace width="0.17em" /><mml:mspace width="0.17em" /><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd columnalign="left"><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>k</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mfenced close="]" open="["><mml:mrow><mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>β</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo><mml:mi>v</mml:mi><mml:msup><mml:mrow><mml:mo stretchy="false">|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:msup><mml:mi>v</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd><mml:mtd columnalign="center"><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mspace width="0.17em" /><mml:mspace width="0.17em" /><mml:msup><mml:mrow><mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:mrow></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:math></disp-formula></p><p>where <italic>k</italic> &lt; 0 is a real constant, <italic>α</italic> &gt; 1, <italic>β</italic> &gt; 1, and <italic>α</italic> + <italic>β</italic> &lt; 2*. We take advantage of the critical point theorem developed by Jeanjean (Proc. R. Soc. Edinburgh Sect A., 1999, 129: 787–809) and combine it with Pohožaev identity to obtain the existence of a ground-state solution, which is the non-trivial solution with the least possible energy.</p>